無限回微分可能な$x$の関数$f(x)$があって，$x$のある区間で，
\begin{eqnarray}
f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 \cdots
\end{eqnarray}
のような多項式に展開できると仮定する．このとき，
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+ \cdots\\
f''(x) &=& 2 \cdot 1a_2+3\cdot 2 a_3x+4\cdot 3 a_4x^2+ \cdots \nonumber \\
&=& 2! a_2 +3\cdot 2 a_3x+4\cdot 3 a_4x^2+ \cdots \\
f'''(x) &=& 3 \cdot 2 \cdot 1 a_3 + 4 \cdot 3 \cdot 2 a_4 x + \cdots \nonumber \\
&=& 3! a_3+4 \cdot 3 \cdot 2 a_4 x + \cdots\\
f^{(4)}(x) &=& 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 a_4 + 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 a_5 x + \cdots \nonumber \\
&=& 4! a_4+5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 a_5 x + \cdots\\
& &\hspace{10mm}\vdots \nonumber
\end{eqnarray}
上記5式の$x$に順に0を代入すると，
\begin{eqnarray}
f(0)&=&a_0 \cdots \\
f'(0)&=&a_1 \cdots \\
f''(0)&=&2!a_2 \cdots \\
f'''(0)&=&3!a_3 \cdots \\
f^{(4)}(0)&=&4!a_4 \cdots \\
& \vdots \nonumber
\end{eqnarray}
すなわち，
\begin{eqnarray}
a_0 &=& f(0) \cdots \\
a_1 &=& f'(0)\cdots \\
a_2 &=& \frac{1}{2!}f''(0)\cdots \\
a_3 &=& \frac{1}{3!}f'''(0)\cdots \\
a_4 &=& \frac{1}{4!}f^{(4)}(0)\cdots \\
& \vdots \nonumber
\end{eqnarray}
以上より，一般に，
\begin{eqnarray}
a_n= \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)
\end{eqnarray}
が得られ，これを最上式に代入することにより，マクローリン級数式:
\begin{eqnarray*}
f(x) &=& a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+ \cdots\\
& = & f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2!}f''(0)x^2+\frac{1}{3!}f'''(0)x^3+\frac{1}{4!}f^{(4)}(0)x^4+ \cdots\\%+\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n+ \cdots\\
& = & \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n (f^{(n)}(x)は，f(x)のn階の導関数)
\end{eqnarray*}
が得られる．
