無限回微分可能な$x$の関数$f(x)$があって,$x$のある区間で,
\begin{eqnarray}
f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 \cdots
\end{eqnarray}
のような多項式に展開できると仮定する.このとき,$\displaystyle a_n= \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)$として,
\begin{eqnarray*}
f(x) &=& a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 \cdots\\
& = & f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2!}f''(0)x^2+\frac{1}{3!}f'''(0)x^3+ \cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n+ \cdots\\
& = & \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n (f^{(n)}(x)は,f(x)のn階の導関数)
\end{eqnarray*}
のように無限級数に展開したとき,これを関数$f(x)$のマクローリン(Maclaurin)級数という.
たとえば,$f(x)=\sin x$のとき,$f'(x)=\cos x$,$f''(x)=-\sin x$ 等々であるから,
\begin{eqnarray*}
\sin x &=& x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+ \cdots\\
&=& x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+ \cdots
\end{eqnarray*}
である.
- $x=\alpha(\ne 0)$のとき,上式が収束するならば,$|x|<|\alpha|$である任意の$x$に対して上式は(絶対)収束をする.
- $x=\beta$のとき,上式が発散するならば,$|x|>|\beta|$である任意の$x$に対して上式は発散する.
言い換えれば,$|x|$を0からだんだん大きくしていけば,$|x|< r$では収束,$|x|> r$では発散のような$r$があるはずである(もしなければ,$r=+\infty$と書く).このような$r$をそのべき級数の収束半径という.この収束半径は,
\begin{eqnarray*}
\rho = \lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}\right|=|x|\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
\end{eqnarray*}
となるから,
\begin{eqnarray*}
\rho < 1 すなわち,|x|<\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|ならば収束\\
\rho > 1 すなわち,|x|>\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|ならば発散\\
\end{eqnarray*}
となり,$\displaystyle r=\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$が収束半径であることを示している.